Pílulas de Raciocínio Quantitativo (2)

"O preço de qualquer coisa é a quantidade de vida que você troca por ela." [Henry Thoreau]

Sequências e Progressões

A sequência de Fibonacci

Prezados,

Este assunto é bastante cobrado em provas de Concursos Públicos. No Teste ANPAD tem aparecido pouco nos últimos anos.


O que é uma Sequência?

Evidentemente que estamos nos referindo às sequências matemáticas. Neste caso, é preciso ficar bem claro que uma sequência (ou uma sucessão) é uma lista ou conjunto de números cuja ordem é definida por uma "lei" ou uma função específica.

Em outras palavras, uma fórmula determina cada número da sequência, a partir do segundo ou do terceiro termo.

Tomemos como exemplo a sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Nesta sequência, cada termo, a partir do terceiro, é obtido pela soma dos dois precedentes.

Outro exemplo: 1, 2, 5, 26, 677, ...

Cada termo da sequência acima, a partir do segundo, é formado pelo quadrado do termo anterior, acrescido de 1.

Em algumas provas aparecem coisas como:

(a) 1, 10, 2, 5, ...

(b) 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ...

Os dois últimos exemplos não são sequência numéricas (mesmo que sejam constituídas por números), pois não há uma "lei" ou fórmula matemática que gere seus termos.

Comentários:
(a) um, dez, dois, cinco, ... Aqui o examinador criou uma pseudo-sequência, em que o examinando deveria "contar as letras" da palavra do número (um = 2 letras, dez = 3 letras, dois = 4 letras, cinco = 5 letras), pretendendo criar uma sequência com esses números: 2, 3, 4, 5, ... Assim, por esse raciocínio estranho, o examinando deveria "adivinhar" que o próximo termo da pseudo-sequência seria um número cuja palavra tivesse seis letras, como, por exemplo, quatro ou quinze.

(b) dois, dez, doze, dezesseis, dezessete, dezoito, dezenove, ... Aqui o absurdo foi pretender criar uma "sequência" (??) em que a palavra do número deve começar com a letra D. Se o candidato conseguisse adivinhar o que o examinador queria, a resposta deveria ser 200.

Não percamos nosso tempo com esses absurdos. Questões desse tipo devem ser sumariamente anuladas...


Progressões Aritméticas

Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante (r), chamada de razão.

Exemplos:

(a) 2, 5, 8, 11, 14, ... Cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se 3 (razão) ao anterior.

(b) 18, 11, 4, -3, -10, ... Cada termo, a partir do segundo, é obtido subtraindo-se 7 (razão) do anterior.

Como este post não se propõe a dar aula sobre o assunto, mas apenas trazer algumas curiosidades e dar dicas ao leitor, não detalharemos em demasia os assuntos...

Observe a P. A.:

1, 3, 5, 7, 9, ...

Agora, veja o seguinte:

1 (um ao quadrado)

1 + 3 = 4 (dois ao quadrado)

1 + 3 + 5 = 9 (três ao quadrado)

1 + 3 + 5 + 7 = 16 (quatro ao quadrado)

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 (cinco ao quadrado)

Generalizando: sempre que somamos números ímpares em sequência (razão igual a 2), partindo de 1, a soma é dada pelo quadrado da quantidade de números somados.

Em outras palavras, a soma dos n primeiros termos da P. A. 1, 3, 5, 7, 9, ... é dada por n ao quadrado. Se somarmos, por exemplo, os dez primeiros termos da P. A. acima, o resultado será 10 ao quadrado, que é igual a 100.

Agora veja como isto é cobrado em provas de Concursos Públicos...

CREA-PR 2010 - FUNDATEC - Pedro criou um jardim em forma triangular (ver figura ao lado), plantando mudas de flores do seguinte modo:

I.    uma muda em um dos vértices do triângulo;

II.   três mudas na segunda fileira;

III.  cinco mudas na terceira fileira;

IV.  sete mudas na quarta fileira.

E assim por diante.

Se esse jardim tem 15 fileiras de flores, então o total de mudas plantadas por Pedro é igual a

a) 125.

b) 225.

c) 375.

d) 450.

e) 540.

[Fonte: banco de questões do autor]

Solução/Comentários:

A sequência é a seguinte: 1, 3, 5, 7, ... Trata-se de uma P. A. formada por números ímpares, partindo de 1. Assim, como a questão pede o total de mudas plantadas em 15 fileiras, basta calcular o quadrado de 15, que é 225. Alternativa B.

Use o mesmo raciocínio e responda as seguintes questões:

1) Júlia montou sua árvore de natal do seguinte modo:

I.    No galho superior colocou um enfeite;

II.   No segundo conjunto de galhos, logo abaixo, colocou três enfeites;

III.  No terceiro conjunto de galhos colocou cinco enfeites;

IV.  No quarto conjunto de galhos colocou sete enfeites.

E assim por diante.

Se essa árvore tem 15 conjuntos de galhos, então o total de enfeites que Júlia colocou nela é igual a

a) 125.

b) 225.

c) 375.

d) 450.

e) 540.

[Fonte: banco de questões do autor]

Você há de concordar que não é necessário fornecer o gabarito da questão...

2) Em um depósito há uma pilha de caixas. Observando-se a pilha (figura ao lado), de cima para baixo, tem-se:
I.   cinco caixas no topo;
II.  sete caixas na fileira logo abaixo;
III.  nove caixas na terceira fileira;
IV.  onze caixas na quarta fileira.
E assim por diante.
Se a pilha tem 18 fileiras, então o total de caixas é igual a
a) 225.
b) 289.
c) 324.
d) 361.
e) 396.
[Fonte: banco de questões do autor]

Dica: note que a sequência (cuja razão é igual a 2) não começa com 1. Para que você possa utilizar o raciocínio empregado anteriormente, é necessário que a sequência de números ímpares e razão igual a 2 sempre comece com 1. Então a dica é: complete a sequência com os dois primeiros termos que faltam (1 e 3). Lembre-se de que você acrescentou 2 fileiras extras às 18 existentes, ficando agora com 20 fileiras e 4 caixotes extras...

Gabarito: alternativa E.

Já coloquei as três questões acima em provas de concursos.

Deixarei as Progressões Geométricas para uma próxima postagem.

Abraços e Sucesso!
Prof. Milton Araújo.

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