segunda-feira, 24 de agosto de 2015

Pílulas de Matemática Financeira (4)

"Dinheiro perdido, pouco perdido; saúde perdida, muito perdido; caráter perdido, tudo perdido." [Provérbio chinês]

"Covardes nunca tentam; fracassados nunca terminam; vencedores nunca desistem." [Norman Vincent Peale]


Taxas de Juros
Classificação e formas de conversão

Prezados,

Conforme prometido, eis outro assunto que derruba candidatos em Concursos Públicos. Diferentemente do que foi citado no post anterior (leia-o aqui), este assunto (Taxas de Juros) obviamente cai em todas as provas de Matemática Financeira e é praticamente o assunto que define se o candidato será aprovado (e bem colocado!), ou se retornará aos livros...

Antes de mais nada, vamos dar umas "pinceladas" nos conceitos de Juro (J) e Taxa (i):

Juros (J)
Conforme o Prof. Wili Dal Zot em Matemática Financeira - fundamentos e aplicações (página 6), Juro é a remuneração do capital emprestado. Da parte de quem paga, é uma despesa ou custo financeiro; da parte de quem recebe, é um rendimento ou renda financeira.

Taxa (i)
Na página 7 do livro citado acima, define-se como taxa de juros o quociente entre o valor dos juros gerados no primeiro período (na unidade de tempo considerada) pelo valor do capital emprestado:


Uma taxa de juros se apresenta na forma percentual. Exemplo: i = 10% a.m.

Para efeito de cálculos, a taxa deve ser colocada em sua forma unitária ou decimal.
Exemplo:
i = 10% a.m. (forma percentual)
i = 0,1 a.m. (forma unitária ou decimal)

Nota: uma taxa de juros sempre deverá ser apresentada com um período de referência associado a ela. O período de referência de uma taxa de juros deve ser informado ao lado do símbolo "%"
Exemplo:
i = 10% a.m. (período de referência: "ao mês", ou, simbolicamente: "a.m.")

Conforme José Dutra Vieira Sobrinho, no mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita confusão quanto aos conceitos de taxas de juros principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela consequente falta de entendimento entre as partes.

Não importando o regime de capitalização (se simples ou composto), há três tipos principais de taxas:


1. Taxa Nominal

Uma taxa é dita nominal quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida.

Por "período de formação e incorporação dos juros ao Capital", entenda-se "período de capitalização".

Exemplos:

12% ao ano com capitalização mensal. Simbolicamente: 12% a.a./m.

45% ao semestre com capitalização mensal. Simbolicamente: 45% a.s./m.

30% ao ano com capitalização trimestral. Simbolicamente: 30% a.a./t.

Recapitulando: uma taxa nominal é aquela cujo período de capitalização é diferente do seu período de referência.


2.  Taxa Efetiva

Uma taxa é dita efetiva quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Em outras palavra, uma taxa é efetiva sempre que o seu período de capitalização for igual ao seu período de referência.

Exemplos:

12% ao mês com capitalização mensal. Simbolicamente: 12% a.m./m.

A taxa acima poderia ser informada simplesmente como 12% a.m.

45% ao semestre com capitalização semestral. Simbolicamente: 45% a.s./s.

A taxa acima poderia ser informada simplesmente como 45% a.s.

30% ao ano com capitalização anual. Simbolicamente: 12% a.a./a.

A taxa acima poderia ser informada simplesmente como 12% a.a.

Recapitulando: uma taxa efetiva é aquela cujo período de capitalização é igual ao seu período de referência.


3.  Taxa Real

Uma taxa é real quando a taxa efetiva é corrigida pela taxa inflacionária do período da operação. Este item é estudado em detalhes no Capítulo 6 do Caderno RQ3 - Matemática Financeira.


4.  Equivalência entre Taxas em Juros Simples

Taxas equivalentes entre si são aquelas que, quando forem aplicadas sobre o mesmo capital, por igual período, produzirão montantes iguais.

A conversão entre taxas no regime de juros simples é fácil e rápida, uma vez que se utiliza do critério proporcional.

Exemplo:

Qual é a taxa bimestral equivalente a 10% a.m. no regime de juros simples?

Solução:       

Sempre inicie a solução (da conversão de taxas) fazendo a seguinte pergunta:
       

Na questão dada, a pergunta fica assim:

Quantos (meses) cabem em UM (bimestre)?

A resposta é 2.

Agora observe o seguinte:

1. Para converter do período menor para o período maior: multiplica

2. Para converter do período maior para o período menor: divide

Como estamos convertendo uma taxa mensal (período menor) para uma taxa bimestral (período maior), faremos uma multiplicação.

10% . 2 = 20% a.b.

Resposta: 10% a.m. é equivalente a 20% a.b. no regime de juros simples.

Consulte outro exemplo e exercícios no livro: 
https://www.facebook.com/groups/souintegral/809923325725487/


5. Equivalência entre Taxas em Juros Compostos
 

No regime de juros compostos, a conversão entre taxas efetivas se dá através da seguinte fórmula:
   

onde:
     






Exemplo:

Qual é a taxa bimestral equivalente a 10% a.m. no regime de juros compostos?

Há duas formas para se resolver a questão:

1. Com o uso de Tabelas Financeiras, que é o mais usual em provas de Concursos Públicos, visto que não é permitido o uso de calculadoras eletrônicas; ou

2. Através da fórmula. Não apresentaremos aqui a solução pela fórmula, pois na maioria das questões torna-se necessário o uso de uma calculadora eletrônica (dispositivo não permitido em provas de concursos públicos). Caso o leitor tenha interesse nesse tipo de solução, consulte um exemplo no livro: https://www.facebook.com/groups/souintegral/809923325725487/

1. Solução por Tabela Financeira:
 

Inicie fazendo a seguinte pergunta:
   
Na questão dada, a pergunta fica assim: Quantos (meses) cabem em UM (bimestre)? A resposta é 2.

Agora tome a Tabela Financeira (abaixo) e localize a taxa de 10% na linha superior. A seguir, localize o prazo na coluna da esquerda.
     

O fator que consta na Tabela Financeira é 1,21.

Agora, basta deslocar a vírgula duas casas para a direita e depois subtrair 100:

Resposta: 10% a.m. é equivalente a 21% a.b. no regime de juros compostos.


6. Conversão de Taxas Nominais para Efetivas

Recapitulando: taxa nominal é aquela cujo período de capitalização é diferente do seu período de referência.

As taxas nominais aparecem em problemas de juros compostos, mas são taxas de juros simples, uma vez que a conversão se dá pelo critério proporcional.

É aqui que reside a grande confusão com esse tipo de taxa!

O leitor precisa estar atento e sempre procurar identificar o tipo de taxa antes de efetuar qualquer tipo de cálculo.

Exemplo:

Qual é a taxa mensal equivalente a 12% ao ano com capitalização mensal?

Representação simbólica da taxa: 12% a.a./m.

Na conversão, a taxa passará do período de referência para o período de capitalização, pelo critério proporcional:
   

Na questão dada, a pergunta fica assim:

Quantos (meses) cabem em UM (ano)? A resposta é 12.

Lembre-se: Quando a conversão é do período maior para o período menor: divide

12% /12 = 1% a.m.

Cuidado! A taxa de 1% a.m. encontrada acima é efetiva e o regime de capitalização é de juros compostos. Para convertê-la para sua equivalente anual não se pode mais usar o critério proporcional.
   

O leitor poderá calcular a taxa anual equivalente à taxa de 1% a.m. através da fórmula

Em juros compostos, a taxa de 1% a.m. é equivalente a 12,6825% a.a.


Exercícios:

Tente resolver as questões 10, 11 e 12 da página 97 do livro (baixe o livro aqui).
Essas questões caíram na prova de Matemática Financeira do último concurso para o Banrisul (2010).


Dica: Escolha suas FONTES com cuidado! Concurso Público não é brincadeira...