Pílulas de Raciocínio Quantitativo (3)

"Carpe diem, quam minimum credula postero." [Horácio]

O Cálculo Mental

Prezados,

Muitos alunos se queixam de que até conseguem entender os conceitos e propriedades de determinado assunto, mas são lentos para fazer os cálculos, ou costumam errar muito nas contas.

Quero tranquilizá-los quanto a isto! Estamos todos juntos nesse barco... Afinal, no mundo geek em que vivemos, quem ainda faz contas de cabeça, com tantas calculadoras à mão?

Nossa desvantagem surge justamente nas provas de concursos públicos, em que jamais será permitido o uso de calculadoras, e ainda temos tempo limitado para resolver cada questão.

Essa situação seria comparável a você ir para a escola de carro, táxi, lotação ou ônibus durante 199 dias letivos. E, justamente no último dia, no qual você fará um exame decisivo, ser forçado a ir a pé, em apenas 15 minutos...

Estamos "perdidos", então? Claro que não!

Há vários atalhos mentais que muitos professores de matemática usam, mas nem sempre passam para seus alunos...

Aqui pretendo apresentar alguns dos truques que costumo passar para meus alunos, e que os faz ganhar muito tempo na hora de resolver questões de provas.


Adição

Não confunda rapidez com afobação... A afobação conduz a erros. Comece devagar e deixe a velocidade vir naturalmente, à medida em que você for dominando os números.

Exemplo:

27 + 12 + 35 + 13 =

Corra atrás das dezenas primeiro (decomponha os números):

70 + 10 + 7 = 87


Subtração

Exemplo:

53 - 37 = 

Arredondando o subtraendo para cima:

(53 - 40) + 3 =

13 + 3 = 16

Outra forma (decompondo o subtraendo):

53 - 37 =

53 - 30 - 7 = 

23 - 7 = 16

Particularmente, gosto mais da primeira forma, pois a operação restante é de adição, que é mais fácil de realizar do que a subtração.

Exemplo (evitando os "empréstimos"):

600 - 437 = 

(599 - 437) + 1 =

162 + 1 = 163

Exemplo ("completando" o subtraendo):

350 - 170 = 

170 + 30 = 200

200 + 150 = 350

30 + 150 = 180.

Essa forma é muito usada no comércio para se calcular rapidamente o troco.

Multiplicação

a) Por 5: Coloque um zero à direita do número e divida o resultado por dois.

Exemplo:

132 x 5 =

1320 : 2 = 660

Veremos, na divisão, que podemos dividir um número por 2 da seguinte forma:

1320 : 2 = (metade de 1000) + (metade de 300) + (metade de 20) = 500 + 150 + 10 = 660

b) Por 9: Coloque um zero à direita do número e subtraia o número.

Exemplo:

34 x 9 = 

340 - 34 = 306

c) Por 11: Coloque um zero à direita do número e some o número.

34 x 11 = 

340 + 34 = 374

Outra forma de se multiplicar um número de dois algarismos por 11 é: 

Afaste um algarismo do outro, some-os e coloque a soma entre eles.

Observe, no exemplo acima que o algarismo do meio é a soma dos extremos (374).

d) Por 15: Coloque um zero à direita do número e some a metade do novo número.

Exemplo:

18 x 15 =

180 + 90 = 270

e) Por 25: Acrescente dois zeros à direita do número e divida o resultado por 4.

Exemplo: 

180 x 25 = 

18000 : 4 = 4500

f) Multiplicação de números com vírgulas: Elimine as vírgulas de todos os números. Multiplique-os. A seguir, conte as casas após a vírgula de todos os números e recoloque a vírgula no resultado.

Exemplo:

0,046 x 0, 00125 =

Cortando-se as vírgulas, vem:  46 x 125 = 5750.

Contam-se, nos dois números, um total de oito casas decimais. Assim o resultado final é:

0,00005750 = 0,0000575

g) Multiplicação de números com vírgula por números com zeros: Retire a vírgula do número decimal e os zeros do outro número. Multiplique-os. Recoloque os zeros. Conte as casas decimais do número com vírgula e recoloque a vírgula no resultado.

Exemplo:

0,0028 x 1200000 =

28 x 12 = 336

Recolocando-se os cinco zeros do número 1200000:

33600000

O número 0,0028 tem quatro casas decimais, assim:

3360,0000 = 3360

Divisão

a) Por 5: Multiplique o número por dois e desloque a vírgula uma casa para a esquerda (o que equivale a dividir por 10).

Exemplo:

180 : 5 =

180 x 2 = 360

36,0 = 36

b) Por 25: Multiplique o número por 4 e desloque a vírgula duas casas para a esquerda (o que equivale a dividir por 100).

Exemplo: 

120 : 25 =

120 x 4 = 480

4,80 = 4,8

Para maiores informações, visite: http://revistaescola.abril.com.br/

Obs.: Esta é uma nova forma de pensar. Com um pouco de treino, você perceberá que seus cálculos ficarão mais rápidos. Nosso problema é que ficamos "viciados" em pensar que o estudo da Matemática se resume a decorar fórmulas e conceitos e realizar as contas do modo mais complicado possível. 

Nosso cérebro é igual a um para-quedas: só funciona quando está aberto...

Abraços e Sucesso!

Prof. Milton Araújo.

Você gostou? Deixe um comentário!

Compartilhe com seus amigos!

Participe do Grupo Sou Integral!

Cadastre-se em nossa Lista Preferencial e receba material didático e dicas gratuitos.

Pílulas de Matemática Financeira (1)

"Os números governam o mundo." [Platão]

O falso Desconto Simples...

DICA: Não use calculadora para estudar para Concursos Públicos!

Prezados,

Saibam que mais de 90% dos livros de Matemática Financeira não foram escritos por matemáticos...

Que utilidade tem essa informação para mim? (Você deve estar pensando.)

Muita... Os Matemáticos costumam adotar o rigor conceitual em seus alfarrábios, e se recusam a escrever materiais didáticos com erros. A Matemática Financeira é portadora de dois enormes erros conceituais. Um deles será tratado aqui.


Conceitos básicos

Juro: valor do dinheiro ao longo do tempo.

Juro Simples: apenas o capital gera juros.

Juros Compostos: os juros são gerados sobre valores que normalmente já possuem parcela de juros embutida. Em outras palavras: juros sobre juros.

Antes de qualquer coisa, devemos sempre observar que a taxa (i) e o prazo (n) devem estar sempre na mesma referência de tempo.

Podemos esquematizar toda a Matemática Financeira, pela figura a seguir:

Figura 1

O Capital fica localizado na "data focal zero".

O Montante fica na "data focal n". Data focal n é qualquer data que fique à direita da data focal zero na linha do tempo.

Quando o valor é deslocado para a direita na linha do tempo, ele deve ser multiplicado pelo fator de juros. Em juros simples, esse fator é dado pela expressão (1 + i.n).

Quando o valor é deslocado para a esquerda na linha do tempo, ele deve ser dividido pelo fator de juros.

Visto de outra forma: quando o deslocamento é para a direita, diz-se que o valor foi capitalizado. Quando o deslocamento é para a esquerda, diz-se que o valor foi descontado ou descapitalizado.


Desconto Bancário ou Comercial 'Simples' (?)

A fórmula para o cálculo dos juros simples é:

J = C . i . n                         (1)

Onde:
J é o juro;
C é o capital;
i é a taxa de juros;
n é o prazo da operação.

Note que a fórmula acima segue o conceito de juros simples, que diz que o juro é calculado sobre o capital.

A fórmula do Montante (M) é a seguinte:

M = C + J                           (2)

Observe que, se colocarmos o montante no lugar do capital na fórmula (1) acima, estaríamos cometendo um erro conceitual:

J = M . i . n, pois estaríamos calculando um juro simples sobre um valor que já tem juros embutidos nele.

Agora veja qual é a fórmula utilizada para o cálculo do desconto bancário ou comercial:

D = N . d . n                         (3)

Onde:
D é o valor do desconto;
N é o valor nominal do título;
d é a taxa;
n é o prazo de antecipação do título.

Observações:
(1) O valor nominal (N) de um título já possui juros embutidos, pois está na data focal n.

(2) Na fórmula do desconto bancário, o nome da taxa foi modificado para "taxa de desconto". Ora, em se tratando de Matemática Financeira, a taxa usada para capitalizar é a mesma que se usa para descontar ou descapitalizar. Qual seria a utilidade aqui em se modificar o nome da taxa?

(3) Compare as fórmulas (1) e (3) e perceba que se trata da mesma fórmula:

J = C . i . n                         (1)
D = N . d . n                       (3)

Na fórmula (3), calcula-se um juros simples, que é chamado de desconto, sobre um valor que já tem juros embutidos (N). Conclui-se, portanto, que se trata de juros compostos, e não simples...

O cálculo do valor atual é feito pela fórmula:

A = N - D                          (4)

O desconto bancário também é chamado de desconto "por fora". Podemos também chamá-lo de falso desconto simples.


O verdadeiro desconto simples

O verdadeiro desconto simples é o Desconto Racional, ou "por dentro".

Tomemos a fórmula do Montante em juros simples:

M = C . (1 + i . n)                    (5)

Colocando-se o valor Nominal (N) do título no lugar do Montante (M) e o valor Atual (A) do título no lugar do Capital (C), teremos a fórmula do Desconto Racional Simples:

N = A . (1 + i . n)                    (6)

Lembre-se de que o valor Atual (A) do título está na data focal zero na linha do tempo e o valor Nominal (N) está na data focal n (Figura 1).

Para o cálculo do Desconto racional, usamos a fórmula:

D = N - A                               (7)

Note que a fórmula acima é derivada diretamente da fórmula (4).

Exemplo:

ANPAD 2008 - Um título de valor nominal de R$ 5.300,00 foi descontado à taxa de 18% a.a. Se o resgate do título foi executado quatro meses antes do vencimento, o desconto racional foi de
A) R$ 300,00
B) R$ 350,00
C) R$ 400,00
D) R$ 450,00
E) R$ 500,00

Solução/Comentários:

O comando da questão solicita o cálculo do desconto racional.

Mas, antes de qualquer coisa, deveremos colocar a taxa (i) e o prazo (n) na mesma referência de tempo: 18% a.a. equivalem a 1,5% a. m.

Utilizaremos a fórmula (6), na qual calcularemos o valor Atual (A) do título para, depois, calcular o valor do Desconto (D) pela fórmula (7):

N = A . (1 + i . n)

Substituindo-se os dados:

5300 = A . (1 + 0,015 . 4)

5300 = 1,06 . A

A = 5300/1,06

A = 5000

Cálculo do Desconto:

D = N - A

Substituindo-se os dados:

D = 5300 - 5000

D = 300

Resposta: alternativa A.

Vamos calcular também o valor do Desconto bancário para essa mesma questão, com o uso da fórmula (3):

D = N . d . n

D = 5300 . 0,015 . 4

D = 318

Observe que o desconto bancário é maior do que o desconto racional...

Abraços e Sucesso!
Prof. Milton Araújo.

Você gostou? Deixe um comentário!
Compartilhe com seus amigos!

Participe do Grupo Sou Integral!

Cadastre-se em nossa Lista Preferencial e receba material didático e dicas gratuitos.

Pílulas de Estatística (1)

"Sem dados você é apenas outra pessoa com uma opinião." [Autor desconhecido]

A Média Aritmética e suas Propriedades

Prezados,

A Estatística é uma disciplina que, para ser estudada, requer paciência e uma boa calculadora!

Agora, pensemos o seguinte: como ela pode ser cobrada no Teste ANPAD e em Concursos Públicos, se é proibido o uso de calculadoras nesses certames?

Aí está o furo... O candidato que souber muito bem disto, saberá exatamente o que estudar, pois a banca estará limitada a cobrar mais os conceitos e propriedades, em vez de questões que requerem cálculos exaustivos. Neste caso, resta pouca coisa para o examinador perguntar...

O que fazer quando uma questão como a que segue cai em uma prova na qual o candidato tem pouco mais de 2 minutos para resolver cada questão (refiro-me aqui ao Teste ANPAD)?

ANPAD 2006. Os dados da tabela abaixo se referem às idades dos funcionários de uma empresa

A idade média das pessoas que trabalham na empresa e a porcentagem de funcionários que têm idade igual ou superior a 38 são, respectivamente,
A) 35,4 e 40%
B) 35,4 e 62,5%
C) 37,3 e 45%
D) 37,3 e 46,66%
E) 42,3 e 46,66%

Solução/Comentários:

Dica: quando a questão pede para calcular duas coisas, sempre comece pela mais fácil!

No caso da questão em tela, pode-se calcular facilmente a porcentagem de funcionários que têm idade igual ou superior a 38 anos. Basta somarmos as frequências simples das três últimas classes e dividir o resultado por 75 (que é o total de observações da distribuição dada).

(20 + 10 + 5)/75 = 0,46666... = 46, 67%

Agora temos duas possíveis alternativas para resposta: D ou E.

Alguém se arriscaria a calcular, em dois minutos, a média aritmética do conjunto acima?

Veja o seguinte: a média aritmética e uma medida de tendência central e estará localizada na classe que tem a maior frequência simples. Basta, então, procurarmos uma classe central na distribuição e com a maior frequência possível...

A classe que procuramos é a que está entre 34 e 38 anos, cuja frequência simples é 22. Em outras palavras: a média aritmética da questão é um número entre 34 e 38.

BINGO! A resposta da questão está na alternativa D.


Uma propriedade interessante

Entre as propriedades das medidas de tendência central (MTCs), e, particularmente da média aritmética, há uma que diz o seguinte: "Adicionando-se ou subtraindo-se uma constante a cada observação de uma distribuição, sua média aritmética ficará adicionada ou subtraída dessa mesma constante.

Exemplo:

O conjunto 2, 3, 3, 4, 6 tem média aritmética igual a 3,6.

Adicionemos 3 a cada elemento do conjunto: 5, 6, 6, 7, 9. Agora, a média aritmética passou a ser igual a 6,6, isto é, ficou adicionada de 3 unidades.

Vamos subtrair 3 unidades de cada elemento do conjunto: -1, 0, 0, 1, 3. A média aritmética passou a ser igual a 0,6, isto é, ficou subtraída de 3 unidades.

É justamente esse ponto que observaremos com mais atenção: subtraindo-se uma constante de cada observação de uma distribuição, sua média aritmética fica subtraída dessa mesma constante.

Veja como a média aritmética da distribuição fica muito mais fácil de ser calculada!

Observe este outro exemplo:

ANPAD 2007 - Foi realizado um levantamento em relação ao peso de 10 estudantes universitários do curso de administração. Obteve-se o seguinte resultado (em kg): 61, 66, 66, 67, 71, 72, 72, 72, 77, 78. Assim, a mediana e a média aritmética desse conjunto são, respectivamente,
A) 71,5 e 70,2
B) 71,5 e 71,5
C) 71 e 70,2
D) 70,2 e 71,5
E) 72 e 70,2

Solução/Comentários:

Obs.: Não estamos tratando da Mediana neste post, mas o leitor deve estar familiarizado com ela...

A Mediana do conjunto é facilmente calculada, e vale 71,5. Assim já sabemos que a resposta da questão só pode ser a alternativa A ou a alternativa B.

Como sabemos que a média aritmética, a moda e a mediana são medidas de tendência central (MTCs), e, como o próprio nome já o diz, "tendem para o centro da distribuição", esperamos que a média aritmética do conjunto acima esteja próxima de 71.

Vamos, então, subtrair 71 de cada observação da distribuição dada:

-10, -5, -5, -4, 0 , 1, 1, 1, 6, 7

A média aritmética do conjunto acima é igual a -0,8 (muito mais fácil de se calcular!). Como sabemos que esta média aritmética é 71 unidades menor do que a verdadeira média aritmética, agora basta somarmos -0,8 + 71 = 70,2 e acabamos de calcular a média aritmética do conjunto 61, 66, 66, 67, 71, 72, 72, 72, 77, 78 de forma muito mais rápida.

Mas não é apenas isto! Vamos interpretar os "desvios" do conjunto -10, -5, -5, -4, 0, 1, 1, 1, 6, 7 como "pesos", e vamos colocá-los em uma balança, conforme mostra a figura a seguir:

Observe que o apoio da balança ficou onde estava o valor 71. Assim, o somatório dos "pesos" do lado esquerdo da balança é igual a 24 (o sinal negativo apenas indica que o peso está à esquerda do zero). Do lado direito da balança, o somatório dos "pesos" é igual a 16. Então, a balança se inclinará para a esquerda, o que nos informa que a média aritmética é menor do que 71.

Com esse raciocínio, nem sequer precisaremos calcular a média aritmética!

Questões propostas

1) AGERGS 2013 - FDRH - Os dados da tabela a seguir se referem às notas finais de Estatística, no segundo semestre de 2012, obtidas por alunos da Faculdade X.

Sabendo-se que a média para alcançar aprovação na cadeira deverá ser igual ou superior a 7,0, a porcentagem de alunos aprovados e a média geral da turma são, respectivamente,

A) 35% e 5,67.

B) 45% e 6,71.

C) 45% e 7,22.

D) 50% e 7,89.

E) 60% e 8,05.

[Fonte: banco de questões do autor]

2) AGERGS 2013 - FDRH - O valor do primeiro momento para o conjunto de dados 20, 30, 70, 80, 100, é

A) 30.

B) 40.

C) 50.

D) 60.

E) 70.

[Fonte: banco de questões do autor]

Dica: o primeiro momento de uma distribuição de dados estatísticos é a sua média aritmética.

3) AGERGS 2013 - FDRH - Carlos e Flávio estão cursando Estatística na Faculdade X. A nota final será a média ponderada dos resultados obtidos em quatro provas: P1, P2, P3 e P4, que, respectivamente, têm pesos 1, 2, 3 e 4. Na tabela a seguir estão dispostas as três primeiras notas de cada aluno.

Nota	P1	P2	P3
Carlos	7,0	7,5	7,0
Flávio	8,0	7,0	7,5

Sabe-se que a média de aprovação na disciplina é 6,0 e que o professor lhes permitiu que realizassem a quarta prova em dupla, desde que a nota fosse suficiente para que ambos fossem aprovados, caso contrário, eles deveriam realizar o exame final. Assim a menor nota na P4 que aprovará a dupla deve ser igual a

A) 1,5.

B) 3,0.

C) 3,5.

D) 4,0.

E) 4,5.

[Fonte: banco de questões do autor]

4) AGERGS 2013 - FDRH - Numa empresa, a média das idades dos 35 funcionários do setor X é de 30 anos, com desvio padrão de 5 anos. Sabe-se que, cinco anos após esse levantamento, não houve mudanças no quadro funcional do setor X, tais como, aposentadorias, transferências ou demissões. O que se pode concluir a respeito da idade média, do desvio padrão e do coeficiente de variação dos funcionários do setor X?

A) A idade média é de 30 anos, o desvio padrão é de 5 anos e o coeficiente de variação não se alterou.

B) A idade média é de 35 anos, o desvio padrão é de 10 anos e o coeficiente de variação aumentou.

C) A idade média é de 35 anos, o desvio padrão não sofreu qualquer alteração, e o coeficiente de variação diminuiu.

D) A idade média é de 35 anos, o desvio padrão é de 10 anos e o coeficiente de variação não se alterou.

E) Não houve qualquer alteração na média, no desvio padrão, nem no coeficiente de variação.

[Fonte: banco de questões do autor]

5) AGERGS 2013 - FDRH - A média das idades dos alunos de certa faculdade é de 20 anos. As idades médias para as moças e os rapazes dessa faculdade são, respectivamente, 17 anos e 21 anos. A porcentagem de rapazes matriculados nessa faculdade é de

A) 75%.

B) 60%.

C) 50%.

D) 35%.

E) 25%.

[Fonte: banco de questões do autor]

Gabarito: 1-b, 2-d, 3-e, 4-c, 5-a

Abraços e Sucesso!

Prof. Milton Araújo.

Você gostou? Deixe um comentário!
Compartilhe com seus amigos!

Participe do Grupo Sou Integral!

Cadastre-se em nossa Lista Preferencial e receba material didático e dicas gratuitos.

Pílulas de Raciocínio Quantitativo (2)

"O preço de qualquer coisa é a quantidade de vida que você troca por ela." [Henry Thoreau]

Sequências e Progressões

A sequência de Fibonacci

Prezados,

Este assunto é bastante cobrado em provas de Concursos Públicos. No Teste ANPAD tem aparecido pouco nos últimos anos.


O que é uma Sequência?

Evidentemente que estamos nos referindo às sequências matemáticas. Neste caso, é preciso ficar bem claro que uma sequência (ou uma sucessão) é uma lista ou conjunto de números cuja ordem é definida por uma "lei" ou uma função específica.

Em outras palavras, uma fórmula determina cada número da sequência, a partir do segundo ou do terceiro termo.

Tomemos como exemplo a sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Nesta sequência, cada termo, a partir do terceiro, é obtido pela soma dos dois precedentes.

Outro exemplo: 1, 2, 5, 26, 677, ...

Cada termo da sequência acima, a partir do segundo, é formado pelo quadrado do termo anterior, acrescido de 1.

Em algumas provas aparecem coisas como:

(a) 1, 10, 2, 5, ...

(b) 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ...

Os dois últimos exemplos não são sequência numéricas (mesmo que sejam constituídas por números), pois não há uma "lei" ou fórmula matemática que gere seus termos.

Comentários:
(a) um, dez, dois, cinco, ... Aqui o examinador criou uma pseudo-sequência, em que o examinando deveria "contar as letras" da palavra do número (um = 2 letras, dez = 3 letras, dois = 4 letras, cinco = 5 letras), pretendendo criar uma sequência com esses números: 2, 3, 4, 5, ... Assim, por esse raciocínio estranho, o examinando deveria "adivinhar" que o próximo termo da pseudo-sequência seria um número cuja palavra tivesse seis letras, como, por exemplo, quatro ou quinze.

(b) dois, dez, doze, dezesseis, dezessete, dezoito, dezenove, ... Aqui o absurdo foi pretender criar uma "sequência" (??) em que a palavra do número deve começar com a letra D. Se o candidato conseguisse adivinhar o que o examinador queria, a resposta deveria ser 200.

Não percamos nosso tempo com esses absurdos. Questões desse tipo devem ser sumariamente anuladas...


Progressões Aritméticas

Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante (r), chamada de razão.

Exemplos:

(a) 2, 5, 8, 11, 14, ... Cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se 3 (razão) ao anterior.

(b) 18, 11, 4, -3, -10, ... Cada termo, a partir do segundo, é obtido subtraindo-se 7 (razão) do anterior.

Como este post não se propõe a dar aula sobre o assunto, mas apenas trazer algumas curiosidades e dar dicas ao leitor, não detalharemos em demasia os assuntos...

Observe a P. A.:

1, 3, 5, 7, 9, ...

Agora, veja o seguinte:

1 (um ao quadrado)

1 + 3 = 4 (dois ao quadrado)

1 + 3 + 5 = 9 (três ao quadrado)

1 + 3 + 5 + 7 = 16 (quatro ao quadrado)

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 (cinco ao quadrado)

Generalizando: sempre que somamos números ímpares em sequência (razão igual a 2), partindo de 1, a soma é dada pelo quadrado da quantidade de números somados.

Em outras palavras, a soma dos n primeiros termos da P. A. 1, 3, 5, 7, 9, ... é dada por n ao quadrado. Se somarmos, por exemplo, os dez primeiros termos da P. A. acima, o resultado será 10 ao quadrado, que é igual a 100.

Agora veja como isto é cobrado em provas de Concursos Públicos...

CREA-PR 2010 - FUNDATEC - Pedro criou um jardim em forma triangular (ver figura ao lado), plantando mudas de flores do seguinte modo:

I.    uma muda em um dos vértices do triângulo;

II.   três mudas na segunda fileira;

III.  cinco mudas na terceira fileira;

IV.  sete mudas na quarta fileira.

E assim por diante.

Se esse jardim tem 15 fileiras de flores, então o total de mudas plantadas por Pedro é igual a

a) 125.

b) 225.

c) 375.

d) 450.

e) 540.

[Fonte: banco de questões do autor]

Solução/Comentários:

A sequência é a seguinte: 1, 3, 5, 7, ... Trata-se de uma P. A. formada por números ímpares, partindo de 1. Assim, como a questão pede o total de mudas plantadas em 15 fileiras, basta calcular o quadrado de 15, que é 225. Alternativa B.

Use o mesmo raciocínio e responda as seguintes questões:

1) Júlia montou sua árvore de natal do seguinte modo:

I.    No galho superior colocou um enfeite;

II.   No segundo conjunto de galhos, logo abaixo, colocou três enfeites;

III.  No terceiro conjunto de galhos colocou cinco enfeites;

IV.  No quarto conjunto de galhos colocou sete enfeites.

E assim por diante.

Se essa árvore tem 15 conjuntos de galhos, então o total de enfeites que Júlia colocou nela é igual a

a) 125.

b) 225.

c) 375.

d) 450.

e) 540.

[Fonte: banco de questões do autor]

Você há de concordar que não é necessário fornecer o gabarito da questão...

2) Em um depósito há uma pilha de caixas. Observando-se a pilha (figura ao lado), de cima para baixo, tem-se:
I.   cinco caixas no topo;
II.  sete caixas na fileira logo abaixo;
III.  nove caixas na terceira fileira;
IV.  onze caixas na quarta fileira.
E assim por diante.
Se a pilha tem 18 fileiras, então o total de caixas é igual a
a) 225.
b) 289.
c) 324.
d) 361.
e) 396.
[Fonte: banco de questões do autor]

Dica: note que a sequência (cuja razão é igual a 2) não começa com 1. Para que você possa utilizar o raciocínio empregado anteriormente, é necessário que a sequência de números ímpares e razão igual a 2 sempre comece com 1. Então a dica é: complete a sequência com os dois primeiros termos que faltam (1 e 3). Lembre-se de que você acrescentou 2 fileiras extras às 18 existentes, ficando agora com 20 fileiras e 4 caixotes extras...

Gabarito: alternativa E.

Já coloquei as três questões acima em provas de concursos.

Deixarei as Progressões Geométricas para uma próxima postagem.

Abraços e Sucesso!
Prof. Milton Araújo.

Você gostou? Deixe um comentário!
Compartilhe com seus amigos!

Participe do Grupo Sou Integral!

Cadastre-se em nossa Lista Preferencial e receba material didático e dicas gratuitos.

Pílulas de Raciocínio Lógico (1)

"O fracasso é o pai do sucesso." [Provérbio chinês]

Negação da Bicondição

Aristóteles [384-322 a.C.]

Prezados,

A questão a seguir não é muito comum em provas de Raciocínio Lógico, mas, sempre que cai, pouquíssimos candidatos a acertam... 

Como sempre recebo muitos pedidos para resolvê-la (e também muitos recursos, quando a coloco nas minhas provas!), resolvi facilitar a vida de todos (e também a minha), apresentando uma solução completa.

Questão - Uma forma de se estabelecer a negação da proposição "João vai ao médico se, e somente se ele está doente." pode ser
a) "Se João vai ao médico, então ele não está doente."
b) "João vai ao médico ou não está doente, e João não vai ao médico e está doente."
c) "João não vai ao médico e nem está doente."
d) "Ou João vai ao médico, ou ele está doente."
e) "João vai ao médico e está doente."
[Fonte: Banco de questões do autor]

Solução/Comentários:

[Trecho retirado do livro: ARAÚJO, M. A. G. Raciocínio Lógico Formal. 1a. ed., Instituto Integral Editora, Porto Alegre-RS, 2012 - Faça o download gratuito neste link: https://www.facebook.com/groups/souintegral/648226115228543/]

Resumindo: há três formas de se estabelecer a negação de uma proposição bicondicional.
1) 
Leitura: "Não é verdade que p se, e somente se q."

2) 
Leitura: "p e não q, ou não p e q."

3) 
Leitura: "Ou p, ou q."

Tomando-se a proposição dada: "João vai ao médico se, e somente se está doente."

Tem-se, como negação:

1) "Não é verdade que João vai ao médico se, e somente se está doente."

2) "João vai ao médico e não está doente, ou João não vai ao médico e está doente."

3) "Ou João vai ao médico, ou ele está doente."

Observe as Tabelas-Verdade, juntamente com os Diagramas Lógicos, apresentadas a seguir, para as Operações Lógicas de Disjunção Exclusiva e Bicondição, respectivamente.

Note que uma representa a negação natural da outra.

Disjunção Exclusiva:

[Fonte: Curso de Raciocínio Lógico do Instituto Integral EaD - Aula 2]

No Diagrama Lógico da figura acima, cada número representa a respectiva linha da Tabela-Verdade. A região sombreada em verde representa a região da verdade para a disjunção exclusiva.

Bicondição:

[Fonte: Curso de Raciocínio Lógico do Instituto Integral EaD- Aula 2]

No Diagrama Lógico da figura acima, cada número representa a respectiva linha da Tabela-Verdade. A região sombreada em verde representa a região da verdade para a bicondição.


Poste suas dúvidas no Grupo Sou Integral! no Facebook

Abraços e até a próxima dica!
Prof. Milton Araújo.

Você gostou? Deixe um comentário!
Compartilhe com seus amigos!

Participe do Grupo Sou Integral!

Cadastre-se em nossa Lista Preferencial e receba material didático e dicas gratuitos.

Leia também:

Pílulas de Raciocínio Lógico (2) - O que é Proposição? 

http://profmilton.blogspot.com.br/2013/04/pilulas-de-raciocinio-logico-2.html

Pílulas de Raciocínio Lógico (3) - Regras Modus Ponens e Modus Tollens: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-raciocinio-logico-3.html

Pílulas de Raciocínio Lógico (4) - Raciocínio Dedutivo 'versus' Raciocínio Indutivo: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-raciocinio-logico-4.html

Pílulas de Raciocínio Lógico (5) -  Os 4 passos para você responder 90% das questões de Raciocínio Lógico Formal: http://profmilton.blogspot.com.br/2014/02/pilulas-de-raciocinio-logico-5.html

Pílulas de Raciocínio Lógico (6) - Proposições Categóricas - Formas de representação, Negação e Equivalência: http://profmilton.blogspot.com.br/2014/02/pilulas-de-raciocinio-logico-6.html

Pílulas de Raciocínio Quantitativo (1)

"Se o problema tem solução, por que te preocupas? Se o problema não tem solução, por que te preocupas? [Provérbio chinês]

Um pouco de Proporções

Prezados,

Estamos reiniciando um projeto antigo, que se inviabilizou ao longo do tempo por absoluta falta de tempo: a resolução de questões de provas passo a passo. 

Este projeto foi o responsável pelos livros de questões resolvidas, lançados até 2001. Um desses livros é ofertado gratuitamente neste link: http://is.gd/500_questoes

Para o reinício das atividades, segue uma questão muito comum em concursos públicos, mas que ainda deixa muitos candidatos confusos (mesmo depois que veem a solução):

SEPLAG 2010 - Cesgranrio - Em uma determinada turma, a razão entre o número de meninas e o número de meninos, nessa ordem, é igual a 1/3 e, em outra turma, com o mesmo número de alunos, essa razão é 3/2. Quando juntaram as duas turmas para assistir a um filme, os professores das duas turmas perceberam que a razão entre o número de meninas e o número de meninos, nessa ordem, passou a ser igual a
(A) 2/9
(B) 17/23
(C) 4/5
(D) 20/17
(E) 11/6

Ensaios de Solução:

Alguns candidatos fazem a soma 1/3 + 3/2 = 4/5. Não pretendemos perder muito tempo comentando essa 'solução', pois, além de incorreta, o candidato também somou as frações de modo incorreto, sem reduzi-las ao mesmo denominador...

Sabemos que a maioria dos candidatos adota a seguinte solução: 1/3 + 3/2 = 11/6.

A solução acima também está incorreta, mas parece que não encontramos explicação razoável para isto, não é mesmo?

A primeira dica que sempre passamos para nossos alunos é: "leia, com atenção, o enunciado!"

Observe que o enunciado informa que as duas turmas têm o mesmo número de alunos.

Agora, imagine o seguinte:

A turma A tem 1 menina e 3 meninos (proporção: 1/3).

A turma B tem 3 meninas e 2 meninos (proporção: 3/2).

Isto está em desacordo com o que diz o enunciado: as duas turmas têm o mesmo número de alunos

Tentemos o seguinte:

A turma A tem 2 meninas e 6 meninos (proporção: 1/3).

A turma B tem 6 meninas e 4 meninos (proporção: 3/2).

Observe que continua incorreto! É por isso que não podemos realizar a soma 1/3 + 3/2 = 11/6, pois essa 'solução' não leva em conta que as duas turmas devem ter o mesmo número de alunos...

Além disso, observe que a razão 11/6 aponta para um número de meninas que é quase o dobro do número de meninos (11 meninas para 6 meninos). Levando-se em conta as proporções dadas para as duas turmas, vê-se que não seria possível o número de meninas quase "dobrar", se em nenhuma das turmas a proporção aponta nessa direção...

Deixemos de lado o raciocínio anterior e passemos à solução correta!

Solução:

[Dica: Para resolver questões desse tipo revise os conceitos de Proporcionalidade, especialmente, Razão e Proporção.]

Sabemos que na turma A há 1 menina para cada 3 meninos (1/3), isto é, o número total de crianças pode ser representado por:

Cada parte da barra acima tem o mesmo número de crianças. O número total de crianças na turma A é representado por 4 partes.

Na turma B há 3 meninas para cada 2 meninos (3/2), isto é, o número total de crianças pode ser representado por:

Cada parte da barra acima tem o mesmo número de crianças. O número total de crianças na turma B é representado por 5 partes.

Como o enunciado informa que as duas turmas têm o mesmo número de alunos, precisamos encontrar um número que seja múltiplo comum de 4 e 5, como, por exemplo, 20, 40, 60, ..., 100

Para simplificar os cálculos, adotemos o número 20 como o total de crianças em cada turma.

Assim, tem-se:

Turma A: 20/4 = 5 (cada parte tem 5 crianças), e a proporção é a seguinte: 5/15, ou seja, 5 meninas e 15 meninos.

Turma B: 20/5 = 4 (cada parte tem 4 crianças), e a proporção é a seguinte: 12/8, ou seja, 12 meninas e 8 meninos.

Desse modo, agora podemos somar o número de crianças do mesmo gênero nas duas turmas:

5 + 12 = 17 meninas

15 + 8 = 23 meninos.

Resposta: Quando juntaram as duas turmas para assistir a um filme, os professores das duas turmas perceberam que a razão entre o número de meninas e o número de meninos, nessa ordem, passou a ser igual a 17/23.

Questões propostas, nas quais você deverá empregar o mesmo raciocínio:

1. ANPAD 2006. Duas jarras contêm, cada uma, o mesmo volume de uma mistura de água e álcool, nas proporções de 2:8 na primeira jarra e de 2:3 na segunda jarra. Juntando-se os conteúdos das duas jarras, obtém-se uma mistura de água e álcool cuja proporção entre água e álcool é
a) 2:5

b) 3:7

c) 3:11

d) 4:11

e) 4:24

2. ANPAD 2003. A razão entre o número de homens e o de mulheres em uma academia é 3/4. Um possível número total de pessoas nessa academia é

a) 34

b) 39

c) 46

d) 48

e) 49

3. ANPAD 2003. Um filme tem duração de 4 horas. Sabendo-se que o que resta para terminar o filme é 1/3 do que já passou, então o tempo gasto até o momento é

a) 33 min

b) 1h

c) 1h20min

d) 1h30min

e) 3h

Gabarito: 1-b, 2-e, 3-e

Poste suas dúvidas no Grupo Sou Integral! no Facebook 

Abraços e até a próxima dica!

Prof. Milton Araújo.

Você gostou? Deixe um comentário!
Compartilhe com seus amigos!

Participe do Grupo Sou Integral!

Cadastre-se em nossa Lista Preferencial e receba material didático e dicas gratuitos.

Instituto Integral em números

Alguns dados e estatísticas...

1. Do Instituto Integral:

- Treze anos (desde 2001) de atividade voltada para o Teste ANPAD;

- Mais de 1.000 alunos já se prepararam conosco;

- Índice de aprovação superior a 75%;

- Os mais altos escores são dos nossos alunos. Dois já alcançaram o escore máximo no Teste ANPAD (600 pontos). São eles: Bruno Breyer Caldas, em 2008 e Maurício Pozebon, em 2012;

- Cinco dos nossos alunos já gabaritaram a prova de Raciocínio Lógico do Teste ANPAD;

- Professores altamente qualificados;

- Material didático didático próprio e de primeira qualidade;

- 80% dos nossos novos alunos chegam até nós por indicação de ex-alunos;

- 70% das vagas do PPGA/UFRGS são preenchidas por nossos alunos;

- E muito mais (confira in loco)...

"Ser Integral!" para nós é muito mais do que ter feito um curso no Instituto Integral ou ter estudado pelos nossos materiais didáticos...

Quando escolhi o nome para o curso, fui motivado por duas coisas:

(1) A integral matemática é o que se pode chamar de uma "soma perfeita"; e

(2) Um ser humano integral é aquele que faz as coisas por inteiro, com ética, esmero, qualidade e respeito máximo pelos outros, mesmo que isto possa, num primeiro momento, trazer eventuais prejuízos.

O maior dos prejuízos para o caráter de uma pessoa é prejudicar os outros...


2. Do Professor Milton Araújo:

- 40 anos de experiência (desde 1974);

- Mais de 30.000 alunos;

- Já atuou em todos os níveis (do fundamental à pós-graduação) e frentes no ensino da Matemática e do Raciocínio Lógico (cursos preparatórios, faculdades, aulas particulares, examinador de concursos públicos, etc.); recentemente, iniciou suas atividades no ensino a distância;

- Como examinador de concursos públicos já elaborou mais de 1.000 questões de Matemática, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para as organizadoras: FAURGS, FDRH e FUNDATEC).

Instituto Integral: Aqui só tem Vencedores. 

Junte-se a nós!

"Os maiores dos erros são a pressa antes do tempo e a lentidão diante da oportunidade." [Provérbio árabe]
"A Oportunidade é uma deusa altiva, pois não perde tempo com os despreparados." [George Clason]
"Você faz suas escolhas e suas escolhas fazem você." [Steve Beckman]

Matematicamente errado

"Você erra 100% dos chutes que não dá!" [Walt Disney]

Esta postagem é uma espécie de continuação de Mate o seu professor de Matemática...

Na verdade, pensei em colocar como título "Mate o seu professor de Matemática - Parte 2", mas... deixemos como está.

Aqui vou falar um pouco mais de nós mesmos, os professores de Matemática.


Ruido na comunicação

Vamos tentar entender porque existe um fosso cheio de crocodilos entre professores de Matemática e alunos.

Exemplo:

Calcule, usando a regra...

-5 + 2 = ?

Geralmente, enuncia-se essa regra do seguinte modo: "subtraem-se os números e coloca-se o sinal do maior."

Agora, veja o seguinte: -5 < 2. Com isto, seguindo-se a regra dada acima, teríamos:

-5 + 2 = +3, pois o maior número é o 2 e o sinal dele é positivo.

Tem alguma coisa errada aqui, não acham? O professor simplificou (demais) a regra para que os alunos entendessem, mas acabou causando uma confusão ainda maior. Se o aluno seguir rigorosamente a regra, tal como foi enunciada, errará muitas questões.

Corrigindo-se...

"A adição de números inteiros de sinais contrários é realizada do seguinte modo: subtraem-se os números e coloca-se no resultado o sinal do número de maior módulo."

-5 + 2 = -3, pois o número de maior módulo é o 5 e o sinal dele é negativo.

Quem poderia dizer quantos outros conceitos e regras da Matemática nos foram passados do mesmo modo?

Outro exemplo:

Observe a figura a seguir. Note que a questão pede para o aluno "encontrar x". Foi o que ele fez... Poderíamos dizer que o aluno errou a questão? Eu diria que não. Ele cumpriu o comando da questão, que pedia para encontrar o x.

Vamos corrigir o enunciado, para que fique mais claro:

No triângulo da figura abaixo, calcule o valor de x.


De cara no muro

Um último exemplo.

A professora coloca no quadro o seguinte problema: 12 pedreiros constroem um muro em 3 dias, trabalhando 6 horas por dia. Em quantos dias um grupo de 15 pedreiros construirão o mesmo muro, trabalhando 4 horas por dia?

A resposta do Joãozinho veio imediatamente: "Nenhum, fessora!" Ao que a professora imediatamente retrucou: "Como assim, nenhum, menino? Deixe de ser preguiçoso e calcule."
A tréplica do Joãozinho: "Preste atenção, fessora, se o primeiro grupo já tinha feito o muro, o que o segundo grupo foi fazer lá, se não há mais trabalho a ser feito??"

Nota 10 para o Joãozinho!

Com base nesses três exemplos, podemos dizer que está havendo uma falha de comunicação entre professores e alunos. Vamos pedir ajuda aos nossos amigos Psicólogos, para tentar entender porque isso ocorre.


Gardner explica (ou não!)

Howard Gardner é um psicólogo cognitivo e educacional estadunidense, ligado à Universidade de Harvard e conhecido em especial pela sua teoria das inteligências múltiplas.

No seu livro mais famoso, Estruturas da Mente, de 1983, Gardner descreve sete dimensões da inteligência (inteligência visual/espacial, inteligência musical, inteligência verbal, inteligência lógica/matemática, inteligência interpessoal, inteligência intrapessoal e inteligência corporal/cinestética).

Desde a publicação de Estruturas da Mente, Gardner propôs duas novas dimensões de inteligência: a inteligência naturalista e a inteligência existencialista. Os testes tradicionais de inteligência só levam em consideração as inteligências verbal e a lógica/matemática. Essa nova teoria tornou-se conhecida como teoria das inteligências múltiplas.
[Fonte: Wikipedia]

Sabemos que professores de Matemática têm a inteligência lógica/matemática no seu pico máximo.

Mas, nosso principal problema está na inteligência interpessoal, pois, levando-se em conta os exemplos apresentados acima, nota-se que a falha básica é de comunicação mesmo. Como podemos dizer que nossos alunos estão errados, se nós não estamos conseguindo dizer-lhes claramente o que queremos? Isto está prejudicando o relacionamento com os alunos.

Bem, eu pensei em pedir ajuda também a Freud, Adler, Jung e outros, mas confesso que não consigo entender muitas das coisas que eles dizem...

O que fazer, então? Gritar "salve-se quem puder!" e deixar o pânico tomar conta da situação? Claro que não!

Vamos continuar trabalhando e aprendendo com os nossos alunos, pois, em termos de comunicação, eles são ótimos professores.

Abraços.
Prof. Milton Araújo.