segunda-feira, 24 de agosto de 2015

Pílulas de Matemática Financeira (4)

"Dinheiro perdido, pouco perdido; saúde perdida, muito perdido; caráter perdido, tudo perdido." [Provérbio chinês]

"Covardes nunca tentam; fracassados nunca terminam; vencedores nunca desistem." [Norman Vincent Peale]


Taxas de Juros
Classificação e formas de conversão

Prezados,

Conforme prometido, eis outro assunto que derruba candidatos em Concursos Públicos. Diferentemente do que foi citado no post anterior (leia-o aqui), este assunto (Taxas de Juros) obviamente cai em todas as provas de Matemática Financeira e é praticamente o assunto que define se o candidato será aprovado (e bem colocado!), ou se retornará aos livros...

Antes de mais nada, vamos dar umas "pinceladas" nos conceitos de Juro (J) e Taxa (i):

Juros (J)
Conforme o Prof. Wili Dal Zot em Matemática Financeira - fundamentos e aplicações (página 6), Juro é a remuneração do capital emprestado. Da parte de quem paga, é uma despesa ou custo financeiro; da parte de quem recebe, é um rendimento ou renda financeira.

Taxa (i)
Na página 7 do livro citado acima, define-se como taxa de juros o quociente entre o valor dos juros gerados no primeiro período (na unidade de tempo considerada) pelo valor do capital emprestado:


Uma taxa de juros se apresenta na forma percentual. Exemplo: i = 10% a.m.

Para efeito de cálculos, a taxa deve ser colocada em sua forma unitária ou decimal.
Exemplo:
i = 10% a.m. (forma percentual)
i = 0,1 a.m. (forma unitária ou decimal)

Nota: uma taxa de juros sempre deverá ser apresentada com um período de referência associado a ela. O período de referência de uma taxa de juros deve ser informado ao lado do símbolo "%"
Exemplo:
i = 10% a.m. (período de referência: "ao mês", ou, simbolicamente: "a.m.")

Conforme José Dutra Vieira Sobrinho, no mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita confusão quanto aos conceitos de taxas de juros principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela consequente falta de entendimento entre as partes.

Não importando o regime de capitalização (se simples ou composto), há três tipos principais de taxas:


1. Taxa Nominal

Uma taxa é dita nominal quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida.

Por "período de formação e incorporação dos juros ao Capital", entenda-se "período de capitalização".

Exemplos:

12% ao ano com capitalização mensal. Simbolicamente: 12% a.a./m.

45% ao semestre com capitalização mensal. Simbolicamente: 45% a.s./m.

30% ao ano com capitalização trimestral. Simbolicamente: 30% a.a./t.

Recapitulando: uma taxa nominal é aquela cujo período de capitalização é diferente do seu período de referência.


2.  Taxa Efetiva

Uma taxa é dita efetiva quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Em outras palavra, uma taxa é efetiva sempre que o seu período de capitalização for igual ao seu período de referência.

Exemplos:

12% ao mês com capitalização mensal. Simbolicamente: 12% a.m./m.

A taxa acima poderia ser informada simplesmente como 12% a.m.

45% ao semestre com capitalização semestral. Simbolicamente: 45% a.s./s.

A taxa acima poderia ser informada simplesmente como 45% a.s.

30% ao ano com capitalização anual. Simbolicamente: 12% a.a./a.

A taxa acima poderia ser informada simplesmente como 12% a.a.

Recapitulando: uma taxa efetiva é aquela cujo período de capitalização é igual ao seu período de referência.


3.  Taxa Real

Uma taxa é real quando a taxa efetiva é corrigida pela taxa inflacionária do período da operação. Este item é estudado em detalhes no Capítulo 6 do Caderno RQ3 - Matemática Financeira.


4.  Equivalência entre Taxas em Juros Simples

Taxas equivalentes entre si são aquelas que, quando forem aplicadas sobre o mesmo capital, por igual período, produzirão montantes iguais.

A conversão entre taxas no regime de juros simples é fácil e rápida, uma vez que se utiliza do critério proporcional.

Exemplo:

Qual é a taxa bimestral equivalente a 10% a.m. no regime de juros simples?

Solução:       

Sempre inicie a solução (da conversão de taxas) fazendo a seguinte pergunta:
       

Na questão dada, a pergunta fica assim:

Quantos (meses) cabem em UM (bimestre)?

A resposta é 2.

Agora observe o seguinte:

1. Para converter do período menor para o período maior: multiplica

2. Para converter do período maior para o período menor: divide

Como estamos convertendo uma taxa mensal (período menor) para uma taxa bimestral (período maior), faremos uma multiplicação.

10% . 2 = 20% a.b.

Resposta: 10% a.m. é equivalente a 20% a.b. no regime de juros simples.

Consulte outro exemplo e exercícios no livro: 
https://www.facebook.com/groups/souintegral/809923325725487/


5. Equivalência entre Taxas em Juros Compostos
 

No regime de juros compostos, a conversão entre taxas efetivas se dá através da seguinte fórmula:
   

onde:
     






Exemplo:

Qual é a taxa bimestral equivalente a 10% a.m. no regime de juros compostos?

Há duas formas para se resolver a questão:

1. Com o uso de Tabelas Financeiras, que é o mais usual em provas de Concursos Públicos, visto que não é permitido o uso de calculadoras eletrônicas; ou

2. Através da fórmula. Não apresentaremos aqui a solução pela fórmula, pois na maioria das questões torna-se necessário o uso de uma calculadora eletrônica (dispositivo não permitido em provas de concursos públicos). Caso o leitor tenha interesse nesse tipo de solução, consulte um exemplo no livro: https://www.facebook.com/groups/souintegral/809923325725487/

1. Solução por Tabela Financeira:
 

Inicie fazendo a seguinte pergunta:
   
Na questão dada, a pergunta fica assim: Quantos (meses) cabem em UM (bimestre)? A resposta é 2.

Agora tome a Tabela Financeira (abaixo) e localize a taxa de 10% na linha superior. A seguir, localize o prazo na coluna da esquerda.
     

O fator que consta na Tabela Financeira é 1,21.

Agora, basta deslocar a vírgula duas casas para a direita e depois subtrair 100:

Resposta: 10% a.m. é equivalente a 21% a.b. no regime de juros compostos.


6. Conversão de Taxas Nominais para Efetivas

Recapitulando: taxa nominal é aquela cujo período de capitalização é diferente do seu período de referência.

As taxas nominais aparecem em problemas de juros compostos, mas são taxas de juros simples, uma vez que a conversão se dá pelo critério proporcional.

É aqui que reside a grande confusão com esse tipo de taxa!

O leitor precisa estar atento e sempre procurar identificar o tipo de taxa antes de efetuar qualquer tipo de cálculo.

Exemplo:

Qual é a taxa mensal equivalente a 12% ao ano com capitalização mensal?

Representação simbólica da taxa: 12% a.a./m.

Na conversão, a taxa passará do período de referência para o período de capitalização, pelo critério proporcional:
   

Na questão dada, a pergunta fica assim:

Quantos (meses) cabem em UM (ano)? A resposta é 12.

Lembre-se: Quando a conversão é do período maior para o período menor: divide

12% /12 = 1% a.m.

Cuidado! A taxa de 1% a.m. encontrada acima é efetiva e o regime de capitalização é de juros compostos. Para convertê-la para sua equivalente anual não se pode mais usar o critério proporcional.
   

O leitor poderá calcular a taxa anual equivalente à taxa de 1% a.m. através da fórmula

Em juros compostos, a taxa de 1% a.m. é equivalente a 12,6825% a.a.


Exercícios:

Tente resolver as questões 10, 11 e 12 da página 97 do livro (baixe o livro aqui).
Essas questões caíram na prova de Matemática Financeira do último concurso para o Banrisul (2010).


Dica: Escolha suas FONTES com cuidado! Concurso Público não é brincadeira...

segunda-feira, 17 de agosto de 2015

Pílulas de Matemática Financeira (3)

"A oportunidade é uma deusa desdenhosa, pois não perde tempo com os despreparados." [George S. Clason]

"As dores do aprendizado são infinitamente menores do que as dores do arrependimento." [Flávio Raimundo]

"Sorte é o encontro da preparação com a oportunidade." [Anthony Robbins]


Séries de Capitais ou Rendas Certas ou Anuidades


Prezados,

Após um período de intensa atividade, que me impediu de continuar essa série, estou retomando minhas "Pílulas", dando prioridade à Matemática Financeira, para atender as centenas de pedidos que recebi nos três últimos meses, em especial nas duas últimas semanas, devido à iminência do Edital para o Concurso Público do Banrisul.

O assunto deste post não cai com muita frequência nas provas, mas sempre que cai, "derruba" mais de 90% dos candidatos.

Mas antes de passarmos à dica do conteúdo propriamente dito, aqui vão três dicas quentíssimas para quem irá prestar o Concurso Público para o Banrisul em 2015.

1. O Edital é iminente! A Organizadora (FDRH) deverá publicá-lo até o início de setembro.

2. Para quem estudará sozinho, não deixe de adquirir o livro Matemática Financeira - fundamentos e aplicações, de Wili Dal Zot e Manuela Longoni de Castro, Editora Bookman, 2015. O livro acabou de sair do forno! E também tem no formato digital: http://www.grupoa.com.br/livros/matematica-e-estatistica/matematica-financeira-ebook/9788582603338
Uma dica fundamental para o estudante é: não use calculadora eletrônica na solução das questões! O livro inteiro ensina a solução das questões por meio de calculadoras eletrônicas. Mas, todos sabemos, os Concursos Públicos não permitem o uso de calculadoras.
Para contornar esse obstáculo, siga para a próxima dica.

Prof. Wili Dal Zot foi o examinador de 
Matemática Financeira no concurso Banrisul/2006

3. Fui o examinador do último concurso para o Banrisul (em 2010) e produzi um e-book com questões de concursos públicos, cujos valores dos dados das questões são ajustados para que os cálculos possam ser realizados sem o uso de calculadoras eletrônicas.
O livro é gratuito e este é o link para o download (Caderno RQ3 - Matemática Financeira) https://www.facebook.com/groups/souintegral/809923325725487/

4. (Dica extra) Como não serei o examinador da próxima prova de Matemática Financeira para o Banrisul, já fui procurado por centenas de candidatos interessados em uma preparação mais "focada". Na hipótese dessa demanda persistir, estou sondando a melhor profissional em atividade no momento para, caso ela tenha disponibilidade, me auxiliar na tarefa de atender essa demanda. Manifeste, caro(a) Candidato(a), o seu interesse num possível curso preparatório, fazendo uma pré-inscrição na lista de Matemática Financeira. As instruções estão neste link: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/11/para-receber-nossos-materiais-gratuitos.html


Séries de Pagamentos
Também são chamadas de Rendas Certas ou Anuidades.

Como nosso foco é em provas de Concursos Públicos ou do Teste ANPAD, abordaremos aqui apenas os tipos de séries que efetivamente caem nessas provas.

São elas:

1. Postecipadas

Fluxo de Caixa do Valor Presente (PV) para série Postecipada:

Diagrama do fluxo de caixa para o Valor Presente da Série Postecipada

Fórmulas:
Fórmula para o cálculo do PV de uma série postecipada

Fator de Valor Atual

Fluxo de Caixa do Valor Futuro (FV) para série Postecipada:

Diagrama do fluxo de caixa para o Valor Futuro da Série Postecipada

Fórmulas:

Fórmula para o cálculo do FV de uma série postecipada

Fator de Valor Futuro

Consulte detalhes no livro:
https://www.facebook.com/groups/souintegral/809923325725487/
páginas 74, 75 e 76. 

2. Antecipadas

Fluxo de Caixa do Valor Presente (PV) para série Antecipada:

Diagrama do fluxo de caixa para o Valor Presente da Série Antecipada

Fórmulas:

Fórmula para o cálculo do PV de uma série antecipada

ou

Fórmula para o cálculo do PV de uma série antecipada

No Teste ANPAD e em alguns Concursos Públicos, é comum se fornecer tabela apenas para o fator de atualização de capital postecipado. Como, então, se resolveria um problema no qual a série de pagamentos é antecipada?

Veja a fórmula manipulada a seguir e fique atento(a) à dica:


Dica: Quando se tratar de uma série antecipada e você tiver apenas uma tabela do fator de atualização de capital postecipado, proceda do seguinte modo:
  • diminua uma unidade no número de parcelas;
  • vá na tabela, para a taxa dada na questão, e retire o fator de atualização de capital correspondente; 
  • some uma unidade no fator retirado da tabela; 
  • multiplique o resultado encontrado no passo anterior pelo valor da prestação.
Consulte detalhes no livro:
https://www.facebook.com/groups/souintegral/809923325725487/
página 77 e seguintes. 

Exemplo:
ANPAD 2009 - Maria comprou um apartamento a prazo em dez pagamentos mensais e iguais no valor de R$ 10.000,00, vencendo a primeira prestação no ato da compra. Se a taxa de juros da imobiliária é de 2% a.m., o preço à vista desse apartamento é

a) R$ 98.886,78.
b) R$ 98.774,80.
c) R$ 91.620,00.
d) R$ 89.830,00.
e) R$ 81.620,00.

Solução:

(1) Dados:

n = 10 prestações mensais antecipadas (veja que o enunciado informa que a primeira prestação venceu no ato da compra);
PMT = 10000
i = 2% a.m.

(2) Fórmula:

n - 1 = 9

Devemos procurar na Tabela Financeira o Fator de Valor Atual para n = 9 e i = 2%.


O valor em destaque na Tabela acima deve ser acrescido de 1 antes de ser multiplicado pelo valor da prestação (PMT), para o cálculo do Valor Presente (PV):

8,16 + 1 = 9,16

PV = 10000 . 9,16 = 91600

Resposta: Alternativa C.

Uma forma mais rápida para fazer o cálculo é a seguinte:

1. Desconsidere, inicialmente, que se trata de uma série antecipada e não subtraia 1 no valor de n, isto é, considere o valor de n dado no problema (no exemplo acima, consideraremos n = 10);

2. Calcule o PV através da fórmula de uma série postecipada, já que as bancas costumam fornecer a tabela financeira apenas do fator de valor atual postecipado:

3. Após calcular o PV postecipado, multiplique-o por (1 + i).

Veja como fica no exemplo acima:

PV = 10000 . 8,98 = 89800
Multiplica-se o resultado encontrado por 1,02: 
89800 . 1,02 = 91596

Resposta: Alternativa C.

[Nota: Fique atento(a) ao detalhe alertado acima! Questão semelhante caiu no Concurso para a Câmara de Porto Alegre em 2011 e centenas de candidatos entraram com recurso, pois não prestaram atenção à Tabela Financeira dada e a usaram sem realizar a manobra sugerida acima. Veja no e-book: https://www.facebook.com/groups/souintegral/809923325725487/ a questão 7 da página 103.]

segunda-feira, 3 de agosto de 2015

Aprenda Raciocínio Lógico Formal com Flash Cards

"As dores do aprendizado são infinitamente menores do que as dores do arrependimento." [Flávio Raimundo]

Aprenda Raciocínio Lógico Formal com Flash Cards


Sumário

1       Introdução 
2       O Flash Card 
2.1         O que é um Flash Card? 
2.2         Como confeccionar um Flash Card? 
2.3         Como memorizar o conteúdo de um Flash Card?
3       Uso de Flash Cards nas Operações Lógicas
3.1         Negação
3.2         Conjunção
3.3         Disjunção Inclusiva
3.4         Disjunção Exclusiva
3.5         Condição
3.6         Bicondição
4       Aplicações dos Flash Cards das Operações Lógicas
4.1         Aplicação dos Flash Cards Verdes no Argumento Lógico Dedutivo
5       Uso de Flash Cards nas Equivalências Lógicas Notáveis
6       Uso de Flash Cards em Tautologia, Contradição e Contingência
6.1         Tautologia
6.2         Contradição
6.3         Contingência
7       Uso dos Flash Cards nas Negações
7.1         Leis de De Morgan
7.2         Negação da Condição
7.3         Negação da Bicondição
7.4         Negação das Proposições Categóricas
7.4.1      Negação da Proposição Categórica Universal Afirmativa (TODO)
7.4.2      Negação da Proposição Categórica Universal Negativa (NENHUM)
7.4.3      Negação da Proposição Categórica Particular ou Existencial Afirmativa (ALGUM)
7.4.4      Negação da Proposição Categórica Particular ou Existencial Negativa (ALGUM NÃO É)

1. Introdução

Muitos me perguntam porque os resultados atingidos pelos nossos alunos no Teste ANPAD são tão expressivos. Qual seria o nosso "segredo", afinal? 

Eu diria que não há segredo, nem mágica, mas sim método.

Utilizamos técnicas de aprendizagem conhecidas para potencializar o desempenho dos nossos alunos, transformando-os em supercandidatos.

Dentre as técnicas que utilizamos estão:

1. Mapas mentais;
2. Flash Cards (abordaremos neste e-book);
3. Jornadas;
4. Meditação pela moderna técnica Omsica, de Paul Hoffman;
5. Controle Mental (Método Silva);
6. Alimentos que lubrificam e turbinam o cérebro;
7. Exercícios físicos;
8. Sono adequado.

Todas essas técnicas, reunidas, constituem um arsenal que dá aos nossos alunos uma vantagem indecente diante da concorrência.

Um candidato bem treinado nas técnicas acima, juntamente com o conteúdo apresentado de uma forma simples, clara e fácil de ser assimilado geram o que chamamos de "sistema 20 x 1", capaz de possibilitar aos nossos alunos assimilarem em apenas uma hora, um conteúdo que um candidato comum levaria 20 horas para assimilar.

E ainda com uma vantagem extra: 100% de retenção!

Mas veja bem: tudo isto só funciona com muito trabalho e esforço pessoal. Nada se aprende por osmose... Por exemplo, se eu lhe der um pen drive com um poderoso programa de computador, para resolver uma classe específica de problemas, mas, ao invés de instalar o programa no seu HD, você passar a desfilar por aí com o pen drive no bolso ou na bolsa, jamais conseguirá resultados com ele... E não poderá reclamar, dizendo que o programa não funciona.

Se você não estiver disposto a pagar o preço para chegar à sua meta, é melhor parar a leitura por aqui, pois tudo isto será uma completa perda de tempo para você. Aguarde a chegada daquele mago poderoso que, com uma poção mágica, fará você aprender tudo, sem sequer abrir um livro...

Estou me dirigindo aqui ao restrito grupo de pessoas que querem realmente aprender Raciocínio Lógico Formal, e não medirão esforços para chegar lá. É nessa classe de pessoas que gosto de investir o meu tempo! E nunca me decepcionei, pois os resultados são fantásticos.

Dificuldades no aprendizado, todos enfrentam. Eu mesmo posso garantir que já tive mais dificuldades do que qualquer outro estudante de Lógica Formal. Também já bati todos os recordes de erros no assunto. Nem tente me superar neste item!

Então, vai aqui um recado direto para aqueles que ficam se torturando ou se achando desprovidos de capacidade para aprender a matéria: ...
(continue lendo no livro)

Visualização do livro (15 páginas):