Prof. Milton Araújo: 19. +DMAT: Aritmética versus Álgebra*

“Às vezes ouço passar o vento; e só de ouvir o vento passar, vale a pena ter nascido.”

[Fernando Pessoa]

“Navegar é preciso; viver não é preciso.”

[Fernando Pessoa]

Quando eu estava no primário (atualmente, nível fundamental), aprendi uma forma raciocinada de se resolver questões de matemática, chamada de solução estruturada.

Já no segundo grau, perguntei para um professor porque aquele tipo de solução não era mais ensinado, nem mesmo no nível fundamental.

Ele me contou uma história interessante. Aquele tipo de solução consistia em ensinar o aluno a pensar, pois é uma solução paciente, que se utiliza apenas de aritmética que, na maioria dos casos, é uma solução mais demorada. A álgebra pode simplificar tremendamente o problema.

Surgiu outra dúvida, que na ocasião, o professor utilizou uma heurística para simplificar sua explicação:

― Quanto é 2 + 2? ―perguntou o professor.

―Quatro. ―respondi.

― Quanto é 2x + 2x? ―perguntou novamente o professor.

― 4x ― respondi.

― O primeiro cálculo é aritmética pura. ― disse o professor ― No segundo cálculo temos a álgebra em ação. Essa é uma forma pedestre de visualizar a diferença entre aritmética e álgebra. Enquanto a aritmética consiste em cálculos apenas com números e operações, na álgebra temos operações com números e letras.

A álgebra surgiu a partir dos estudos do matemático Al Khwarizmi[1]. Você poderá ter mais detalhes dessa história neste post:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Alcuarismi

A partir da simples explicação do meu professor passei a entender melhor os problemas em que empregávamos a solução estruturada, e vi que havia muito mais raciocínio nessas soluções, ditas aritméticas, do que nas soluções algébricas.

Anos mais tarde, já como professor, passei a explicar para os meus alunos (principalmente os do nível fundamental) as soluções estruturadas. Apesar de ser uma forma mais longa de se explicar e entender, vi que os estudantes passavam a fixar melhor o conteúdo, a partir do entendimento daquilo que precisava ser feito no problema, em vez de simplesmente massificá-los com uma centena de exercícios que, em outras palavras, consiste no aprendizado por insistência...

Aqui pretendo deixar apenas uma forma de solução para algumas questões que se resolvem por sistemas de equações do primeiro grau a duas incógnitas.

Exemplo 1:

Um professor elaborou sua prova de matemática atribuindo pesos às questões, da seguinte maneira: para cada questão correta o aluno ganharia 5 pontos, e, para cada questão incorreta perderia 2 pontos.

Numa prova de 20 questões, um aluno ficou com 58 pontos. Nessas condições, quantas questões o aluno acertou?

Solução passo a passo:

Ø Sempre comece a solução observando qual é o total de pontos possível, que, neste caso é de 100 pontos, ou 20 questões vezes 5 pontos por questão. Em outras palavras, inicie a solução buscando o máximo valor possível.

Ø A seguir verifique qual é a diferença entre a nota máxima possível e o número de pontos atingidos pelo aluno, que nesse caso, foi 58.

100 – 58 = 42

Ø Para cada questão que o estudante erra, ele deixa de ganhar 7 pontos: 5 porque a errou e mais 2 de penalização.

Ø Agora, basta você dividir 42 por 7 e descobrir quantas questões o aluno errou:

42 : 7 = 6.

Ø Se ele errou 6 questões, então acertou:

20 – 6 = 14.

O próximo exemplo ficará apenas estruturado, para que você vá resolvendo e acompanhando o raciocínio, como forma de fixar o modo de resolução.

Exemplo 2:

Um caixa eletrônico fornece apenas notas de R$ 50,00 e R$ 100,00. João sacou o total de R$ 800,00, em notas de R$ 50,00 e de R$ 100,00. Sabendo que o total de notas sacadas por João foi de 12, quantas notas de R$ 100,00 ele sacou?

Solução passo a passo:

Ø Quantia máxima possível a ser sacada:

R$ ______ (nota de maior valor) vezes

_____ (total de notas sacadas pelo João).

= ________.

Ø Subtraia do valor encontrado acima o valor que João realmente sacou:

_______________________

Ø A diferença encontrada acima equivale à quantidade de notas de R$ 50,00 sacadas pelo João.

Ø Basta dividir o valor da diferença do passo anterior por 50, e teremos o número de notas de R$ 50,00.

Ø Agora resta subtrair o valor encontrado (acima) do total de notas que João sacou, e teremos o número de notas de R$ 100,00 sacadas pelo João.

Ø Sempre preste muita atenção à pergunta da questão. Como há duas incógnitas, a pegadinha aqui é o examinador colocar nas alternativas os valores de ambas as incógnitas. O examinando afobado sempre acaba marcando o valor incorreto. Fique atento!

(Você conseguiu chegar ao resultado?)

Exercícios propostos:

1. João está treinando para a decisão do campeonato de basquete da sua escola. Ele é o cestinha da sua equipe e pretende brilhar na decisão. No total, João faz 50 arremessos livres de cada vez, atribuindo-se três pontos por acerto e descontando um ponto por erro. Se João terminou sua seção de treino com um total de 138 pontos, quantas cestas ele errou?

2. Num quintal há galinhas e coelhos, perfazendo um total de 37 cabeças e 104 pés. Quantas galinhas e quantos coelhos há no quintal?

3. ANPAD – Se forem tirados 2/3 do conteúdo de um recipiente cheio de água e recolocados 30 litros de água, o conteúdo passa a ocupar a metade do volume inicial. A capacidade do recipiente é

A) 40 litros.

B) 75 litros.

C) 120 litros.

D) 145 litros.

E) 180 litros.

(Essa questão não é de sistemas de equações.)

DESAFIOS:

4. Num campeonato de futebol, composto por 20 equipes, que se enfrentam em turno e returno, há uma nova forma de pontuação por partida, que consiste em zero, um, dois e três pontos, distribuídos da seguinte forma:

· A equipe vencedora levou três pontos e a perdedora ficou com zero.

· Para as partidas que terminaram em empate, houve a disputa de tiros livres da marca penal. A equipe vencedora da disputa de tiros livres ganhou mais um ponto, ficando com dois pontos na partida. A equipe perdedora ficou com um ponto.

A equipe campeã terminou o campeonato invicta e com 99 pontos no total.

Sabendo que, do total de partidas que a campeã empatou, ela venceu metade delas na disputa de tiros livres da marca penal, qual foi o total de vitórias simples (de três pontos) da equipe campeã?

[Questão elaborada pelo prof. M. A. G. A.]

5. ANPAD – Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$ 200,00 e a vende pelo mesmo preço, depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$ 100,00. Então, o número original de garrafas de vinho na caixa é

A) 12.

B) 24.

C) 30.

D) 36.

E) 42.

(Essa questão não é de sistemas de equações.)

*Extraído de Uóliben - O papagaio matemático (segunda edição)

Leitura recomendada:

http://profmilton.blogspot.com.br/2014/01/pilulas-de-raciocinio-quantitativo-6.html

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No Caderno RQ10 – Problemas do Primeiro Grau, você encontra questões semelhantes e três soluções, para você escolher a que julgar mais fácil.