Pílulas de Estatística (1)

"Sem dados você é apenas outra pessoa com uma opinião." [Autor desconhecido]

A Média Aritmética e suas Propriedades

Prezados,

A Estatística é uma disciplina que, para ser estudada, requer paciência e uma boa calculadora!

Agora, pensemos o seguinte: como ela pode ser cobrada no Teste ANPAD e em Concursos Públicos, se é proibido o uso de calculadoras nesses certames?

Aí está o furo... O candidato que souber muito bem disto, saberá exatamente o que estudar, pois a banca estará limitada a cobrar mais os conceitos e propriedades, em vez de questões que requerem cálculos exaustivos. Neste caso, resta pouca coisa para o examinador perguntar...

O que fazer quando uma questão como a que segue cai em uma prova na qual o candidato tem pouco mais de 2 minutos para resolver cada questão (refiro-me aqui ao Teste ANPAD)?

ANPAD 2006. Os dados da tabela abaixo se referem às idades dos funcionários de uma empresa

A idade média das pessoas que trabalham na empresa e a porcentagem de funcionários que têm idade igual ou superior a 38 são, respectivamente,
A) 35,4 e 40%
B) 35,4 e 62,5%
C) 37,3 e 45%
D) 37,3 e 46,66%
E) 42,3 e 46,66%

Solução/Comentários:

Dica: quando a questão pede para calcular duas coisas, sempre comece pela mais fácil!

No caso da questão em tela, pode-se calcular facilmente a porcentagem de funcionários que têm idade igual ou superior a 38 anos. Basta somarmos as frequências simples das três últimas classes e dividir o resultado por 75 (que é o total de observações da distribuição dada).

(20 + 10 + 5)/75 = 0,46666... = 46, 67%

Agora temos duas possíveis alternativas para resposta: D ou E.

Alguém se arriscaria a calcular, em dois minutos, a média aritmética do conjunto acima?

Veja o seguinte: a média aritmética e uma medida de tendência central e estará localizada na classe que tem a maior frequência simples. Basta, então, procurarmos uma classe central na distribuição e com a maior frequência possível...

A classe que procuramos é a que está entre 34 e 38 anos, cuja frequência simples é 22. Em outras palavras: a média aritmética da questão é um número entre 34 e 38.

BINGO! A resposta da questão está na alternativa D.


Uma propriedade interessante

Entre as propriedades das medidas de tendência central (MTCs), e, particularmente da média aritmética, há uma que diz o seguinte: "Adicionando-se ou subtraindo-se uma constante a cada observação de uma distribuição, sua média aritmética ficará adicionada ou subtraída dessa mesma constante.

Exemplo:

O conjunto 2, 3, 3, 4, 6 tem média aritmética igual a 3,6.

Adicionemos 3 a cada elemento do conjunto: 5, 6, 6, 7, 9. Agora, a média aritmética passou a ser igual a 6,6, isto é, ficou adicionada de 3 unidades.

Vamos subtrair 3 unidades de cada elemento do conjunto: -1, 0, 0, 1, 3. A média aritmética passou a ser igual a 0,6, isto é, ficou subtraída de 3 unidades.

É justamente esse ponto que observaremos com mais atenção: subtraindo-se uma constante de cada observação de uma distribuição, sua média aritmética fica subtraída dessa mesma constante.

Veja como a média aritmética da distribuição fica muito mais fácil de ser calculada!

Observe este outro exemplo:

ANPAD 2007 - Foi realizado um levantamento em relação ao peso de 10 estudantes universitários do curso de administração. Obteve-se o seguinte resultado (em kg): 61, 66, 66, 67, 71, 72, 72, 72, 77, 78. Assim, a mediana e a média aritmética desse conjunto são, respectivamente,
A) 71,5 e 70,2
B) 71,5 e 71,5
C) 71 e 70,2
D) 70,2 e 71,5
E) 72 e 70,2

Solução/Comentários:

Obs.: Não estamos tratando da Mediana neste post, mas o leitor deve estar familiarizado com ela...

A Mediana do conjunto é facilmente calculada, e vale 71,5. Assim já sabemos que a resposta da questão só pode ser a alternativa A ou a alternativa B.

Como sabemos que a média aritmética, a moda e a mediana são medidas de tendência central (MTCs), e, como o próprio nome já o diz, "tendem para o centro da distribuição", esperamos que a média aritmética do conjunto acima esteja próxima de 71.

Vamos, então, subtrair 71 de cada observação da distribuição dada:

-10, -5, -5, -4, 0 , 1, 1, 1, 6, 7

A média aritmética do conjunto acima é igual a -0,8 (muito mais fácil de se calcular!). Como sabemos que esta média aritmética é 71 unidades menor do que a verdadeira média aritmética, agora basta somarmos -0,8 + 71 = 70,2 e acabamos de calcular a média aritmética do conjunto 61, 66, 66, 67, 71, 72, 72, 72, 77, 78 de forma muito mais rápida.

Mas não é apenas isto! Vamos interpretar os "desvios" do conjunto -10, -5, -5, -4, 0, 1, 1, 1, 6, 7 como "pesos", e vamos colocá-los em uma balança, conforme mostra a figura a seguir:

Observe que o apoio da balança ficou onde estava o valor 71. Assim, o somatório dos "pesos" do lado esquerdo da balança é igual a 24 (o sinal negativo apenas indica que o peso está à esquerda do zero). Do lado direito da balança, o somatório dos "pesos" é igual a 16. Então, a balança se inclinará para a esquerda, o que nos informa que a média aritmética é menor do que 71.

Com esse raciocínio, nem sequer precisaremos calcular a média aritmética!

Questões propostas

1) AGERGS 2013 - FDRH - Os dados da tabela a seguir se referem às notas finais de Estatística, no segundo semestre de 2012, obtidas por alunos da Faculdade X.

Sabendo-se que a média para alcançar aprovação na cadeira deverá ser igual ou superior a 7,0, a porcentagem de alunos aprovados e a média geral da turma são, respectivamente,

A) 35% e 5,67.

B) 45% e 6,71.

C) 45% e 7,22.

D) 50% e 7,89.

E) 60% e 8,05.

[Fonte: banco de questões do autor]

2) AGERGS 2013 - FDRH - O valor do primeiro momento para o conjunto de dados 20, 30, 70, 80, 100, é

A) 30.

B) 40.

C) 50.

D) 60.

E) 70.

[Fonte: banco de questões do autor]

Dica: o primeiro momento de uma distribuição de dados estatísticos é a sua média aritmética.

3) AGERGS 2013 - FDRH - Carlos e Flávio estão cursando Estatística na Faculdade X. A nota final será a média ponderada dos resultados obtidos em quatro provas: P1, P2, P3 e P4, que, respectivamente, têm pesos 1, 2, 3 e 4. Na tabela a seguir estão dispostas as três primeiras notas de cada aluno.

Nota	P1	P2	P3
Carlos	7,0	7,5	7,0
Flávio	8,0	7,0	7,5

Sabe-se que a média de aprovação na disciplina é 6,0 e que o professor lhes permitiu que realizassem a quarta prova em dupla, desde que a nota fosse suficiente para que ambos fossem aprovados, caso contrário, eles deveriam realizar o exame final. Assim a menor nota na P4 que aprovará a dupla deve ser igual a

A) 1,5.

B) 3,0.

C) 3,5.

D) 4,0.

E) 4,5.

[Fonte: banco de questões do autor]

4) AGERGS 2013 - FDRH - Numa empresa, a média das idades dos 35 funcionários do setor X é de 30 anos, com desvio padrão de 5 anos. Sabe-se que, cinco anos após esse levantamento, não houve mudanças no quadro funcional do setor X, tais como, aposentadorias, transferências ou demissões. O que se pode concluir a respeito da idade média, do desvio padrão e do coeficiente de variação dos funcionários do setor X?

A) A idade média é de 30 anos, o desvio padrão é de 5 anos e o coeficiente de variação não se alterou.

B) A idade média é de 35 anos, o desvio padrão é de 10 anos e o coeficiente de variação aumentou.

C) A idade média é de 35 anos, o desvio padrão não sofreu qualquer alteração, e o coeficiente de variação diminuiu.

D) A idade média é de 35 anos, o desvio padrão é de 10 anos e o coeficiente de variação não se alterou.

E) Não houve qualquer alteração na média, no desvio padrão, nem no coeficiente de variação.

[Fonte: banco de questões do autor]

5) AGERGS 2013 - FDRH - A média das idades dos alunos de certa faculdade é de 20 anos. As idades médias para as moças e os rapazes dessa faculdade são, respectivamente, 17 anos e 21 anos. A porcentagem de rapazes matriculados nessa faculdade é de

A) 75%.

B) 60%.

C) 50%.

D) 35%.

E) 25%.

[Fonte: banco de questões do autor]

Gabarito: 1-b, 2-d, 3-e, 4-c, 5-a

Abraços e Sucesso!

Prof. Milton Araújo.

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